Син відомого в місті футбольного тренера Валерія Блізніченка розпочав свою футбольну кар’єру у 2007 році в юнацькій команді запорізького "Металурга". За 4 роки у складі запоріжців Андрій забив 80 голів у 67 матчах, проте у 2011 році залишив "Металург" через розбіжності щодо нового контракту.
У 2012 році Блізніченко перейшов до дніпропетровського "Дніпра", який допоміг футболісту з лікуванням травми, яку він отримав ще виступаючи за "Металург".
В основному складі "Дніпра" Андрій дебютував 28 листопада 2013 року у матчі Ліги Європи з румунським "Пандурієм", до цього граючи за дніпрян лише в команді дублерів.
Під час зимового трансферного вікна сезону 2013-2014 років Андрій Блізніченко міг стати гравцем львівських "Карпат", але трансфер зірвався і Андрій повернувся до Дніпропетровська.
Перший матч за основу "Дніпра" у Прем’єр-лізі Блізніченко зіграв 5 квітня 2014 року.
Після того, як у "Дніпра" почалися фінансові проблеми і клуб залишили більшість легіонерів, Андрій став гравцем основного складу, в статусі якого і перейшов взимку 2017-го до турецького "Карабюкспора", де разом із Олександром Рибкою та Євгеном Селезньовим грає й донині.
