Ще один вихованець тренерського дуету Скидан-Блізніченко.
Кар’єру в ДЮФЛ юний воротар розпочав виступаючи за житомирське "Полісся" та "УФК Львів".
Професійна кар’єра новоград-волинця почалася у складі львівських "Карпат", проте бодай одного матчу за львівський гранд Юрій не зіграв. У 2002-му Шевчука на правах оренди перейшов у "Галичину-Карпати", згодом грав за "Карпати-2".
Влітку 2006 року 21-річний воротар підписав контракт з тернопільською "Нивою", проте у 2007 році покинув Тернопіль і вирушив закордон, де захищав кольори аматорського клубу "Бодва" (Словаччина).
Вже наступного року Юрій повернувся до Львова, підписавши контракт з місцевим ФК "Львів". У складі "городян" Юрій Шевчук дебютував 9 листопада 2008-го у матчі з київським "Динамо". У чемпіонаті 2008-2009 звягельчанин прові 2 гри за основу та 8 за "молодіжку".
Сезон 2009-2010 провів у складі "Львову-2" у Другій лізі, зігравши 4 матчі та пропустивши 9 м’ячів.
У 2011 році Юрій Шевчук знову повертається до аматорського футболу і починає виступи за любительський ФК "Самбір". У 2012-му воротар переходить до іншого клубу зі Львівщини – "Рух" Винники.
У 2016 році "Рух" отримав статус професійного клубу, а Юрій Шевчук – нагоду пограти на професійному рівні. Нині звягельчанин захищає кольори клубу з передмістя Львова у Першій лізі.
